La Teoría de Juegos y el dilema discursivo

He aquí un ejemplo del “dilema discursivo” o “paradoja doctrinal”: Pongamos que hay un jurado de tres miembros que deben decidir mayoría si un candidato debe ser aceptado en un grupo. Las reglas especifican que el candidato debe cumplir dos requisitos, A y B, para ser aceptado. El primer miembro del jurado cree que el candidato cumple ambos requisitos, el segundo miembro cree que solo cumple el A, mientras que el tercero cree que solo cumple B. La paradoja aparece cuando uno compara dos métodos diferentes para decidir la admisión del candidato.

El primer método requiere que el jurado vote sobre si el candidato cumple el requisito A y, a continuación, sobre si cumple el B. Si el candidato obtiene una mayoría en ambas votaciones, será aceptado. Dos de los tres miembros creen que se satisface la condición A (el primero y el segundo así lo creen), y también dos de tres creen que se satisface la condición B (ahora lo creen el primero y el tercero). De acuerdo con este método el candidato es aceptado.

El segundo método requiere que el jurado vote directamente si piensa que el candidato debe ser aceptado. Ahora solamente el primer miembro piensa que se cumplen ambas condiciones y votará a favor. Los otros dos, al creer que una de las dos condiciones no se cumplen, votarán en contra.

Podemos entender los dos métodos de votación como dos maneras diferentes de agregar información. La paradoja muestra que la regla mayoritaria da resultados inconsistentes cuando agrega información sobre las premisas frente a la situación cuando agrega las conclusiones. En el ejemplo, la conclusión se sigue de la conjunción de las premisas, pero se podrían usar otras proposiciones lógicas para mostrar la paradoja. Más aún, numerosos resultados han mostrado que este no es un problema especial de la regla mayoritaria. De hecho, estos resultados muestran que es imposible encontrar un método de agregación que ofrece juicios lógicamente consistentes, esto es, que dan el mismo resultado sin importar sin se agregan premisas o conclusiones. Para obtener un panorama de sobre estos resultados léase List y Puppe (2009) [1].

Dada la imposibilidad de encontrar consistencia, la siguiente cuestión es saber qué procedimiento, agregar opiniones acerca de premisas o resultados, es la mejor. Para enfrentarse a este problema, lo primero que se necesita es especificar qué significa “mejor”. Clippel y Eliaz (2015) [2] comparan ambos procedimientos en términos de su capacidad para agregar información en presencia de individuos que toman decisiones estratégicas y que tienen intereses comunes. Contrariamente a lo que se asumía en el ejemplo introductorio, los individuos estratégicos pueden votar o no de acuerdo con su información privada (la literatura sobre votaciones está llena de ejemplos en que los votantes no lo hacen). El interés común significa que todos los votantes quieren lo mismo: agregar la información y generar una correcta conclusión a partir de premisas correctas. In nuestro ejemplo eso significaría que los tres miembros del jurado quieren que el candidato sea aceptado si se cumplen las premisas y quieren saber si estas premisas se cumplen verdaderamente. Las consideraciones estratégicas en la paradoja doctrinal han sido estudiadas por primera vez en Dietrich y List (2007) [3], pero solo para agregadores por unanimidad (donde todas la premisas deben ser ciertas para que se cumpla la conclusión).

Clipper y Eliaz (2015) [2] usan los juegos bayesianos para desarrollar su análisis. Esto significa que las distintas creencias de los miembros del jurado se deben a que cada miembro tiene acceso a distinta información. En el modelo bayesiano, ex-ante todos los miembros del jurado están de acuerdo en las probabilidades a priori de que cada premisa sea cierta. En un segundo momento cada miembro del jurado tiene acceso a una información privada (llamada señal) a partir de la cual pueden actualizar sus creencias de acuerdo con la regla de Bayes. Como cada uno puede recibir información distinta, los tres miembros pueden acabar con distintas creencias acerca de las premisas. En el modelo de Clipper y Eliaz (2015) la señal está restringida a los valores 0 y 1 para cada una de las premisas y las reglas de decisión comprenden todas la reglas super-mayoritarias (una proposición es aceptada si una mayoría cualificada de los votantes están de acuerdo en que es cierta, donde el valor cualificación puede ser cualquier proporción de votantes entre la mitad, para una mayoría simple, hasta la casi unanimidad).

Expliquemos esto con el ejemplo primero. Hay cuatro posibilidades para el verdadero estado: (1,1), (1,0), (0,1) y (0,0), donde un 1 en la primera posición de la señal significa “la primera premisa es cierta”. Un cero significa “falsa”, y la segunda posición se refiere a la segunda premisa. Hay una probabilidad a priori de que cada uno de estos estados posibles sea cierto y los tres miembros del jurado conocen estas probabilidades. A partir de ahí cada miembro recibe una señal sobre el estado. En el caso más simple hay tantas señales como estados. El primer miembro del jurado recibirá una señal correcta o incorrecta con unas probabilidades. Por ejemplo, si el estado verdadero es (1,1), puede recibir la señal (1,1) con probabilidad 0,7, la señal (1,0) con probabilidad 0,2 y cada una de las señales (0,1) y (0,0) con probabilidad 0,05. Los otros dos miembros recibirán sus señales con sus propias probabilidades. Cada miembro del jurado desconoce las señales que reciben los otros, pero sabe las probabilidades. Usando la regla de Bayes, cada miembro del jurado puede calcular la probabilidad de que cada premisa sea cierta y puede también calcular la probabilidad que cada uno de los otros miembros asignará a cada premisa dependiendo de qué señales reciben.

En el juego de la premisas, después de recibir las señales, los miembros votan sí o no a cada proposición de la forma “la premisa x es cierta”. Según los votos, una premisa se declarará cierta o falsa. En el juego de los resultados, votan a favor o en contra de la aceptar la conclusión lógica. En ambos casos cada miembro del jurado quiere minimizar la distancia esperada entre la decisión y el estado verdadero. Por ejemplo, si el estado verdadero implique que el candidato debe ser aceptado (1), pero en equilibrio se acepta solo con probabilidad 0,6, la distancia será 1-0,6=0,4. Por supuesto, los miembros no saben si el estado cierto implica que el candidato deba ser aceptado, pero pueden calcular las probabilidades de acuerdo con las señales recibidas y, a partir de ahí, calcular el valor verdadero esperado y la distancia esperada entre el equilibrio y el este valor.

En el modelo, los autores logran probar los siguientes teoremas:

1. Para cada grupo finito de individuos, recabar opiniones sobre las premisas es sistemáticamente por lo menos tan bueno como recabarlas sobre los resultados, pero lo contrario no es cierto. Para ser más precisos, la primera parte dice que para cada equilibrio de Nash bayesiano simétrico en el juego basado en resultados existe un equilibrio de Nash bayesiano en el juego basado en premisas tal que, par cada vector de realizaciones de la señal, el perfil estratégico del segundo juego induce la misma distribución de probabilidad sobre las decisiones que el primero.
2. Genéricamente, las ganancias del juego basado en las premisas sobre el juego basado en el resultado solo pueden llegar a ser marginales cuando muchos individuos expresan su opinión independientemente.
3. Ambos procedimientos son casi siempre eficientes asintóticamente.

En lenguaje llano, la conclusión puede resumirse así: a pesar de que el método basado en las premisas es mejor que el basado en los resultados, solo lo es de manera marginal, puesto que ambos métodos tienden a ser eficientes cuando el número de miembros aumenta, excepto en casos extremadamente raros.

Referencias:

1. List, C., and Puppe, C. 2009. Judgement aggregation. In Handbook of Rational and Social Choice, pp. 457–483. Chapter 19.

2. de Clippel, G., and Eliaz, K. 2015. Premise-based versus outcome-based information aggregation. Games and Economic Behavior 89, 34–42. 

3. Dietrich, F., and List, C. 2007. Strategy-proof judgment aggregation. Economics and Philosophy 23, 269–300.