Filosofía en la Red.

Parte I. De números Tenemos un problema con el infinito. No ya que no lo concibamos, sino que no lo podemos siquiera tocar, escribir o señalar. Con el infinito grande podemos hacernos algunos trucos. Por ejemplo, hacer que el intervalo abierto (0, 1), que no incluye el cero ni el uno, esté en correspondencia con los números reales positivos. Entonces, si dibujamos el intervalo y si ponemos la punta del lápiz sobre el 1 nos podemos hacer a la idea de estar tocando el infinito, pero requiere un poco de imaginación. Para el infinito pequeño las cosas son más difíciles. A pesar de que siempre podemos elegir dos números que estén muy cerca el uno del otro, más cerca que cualquier cantidad ridículamente pequeña que se nos ocurra, siempre estarán separados por una distancia positiva. Por eso siempre encontramos algún número racional entre cualesquiera dos irracionales y algún irracional entre dos racionales, a pesar de que haya en total muchísimos más irracionales que racionale...

He aquí un ejemplo del “dilema discursivo” o “paradoja doctrinal”: Pongamos que hay un jurado de tres miembros que deben decidir mayoría si un candidato debe ser aceptado en un grupo. Las reglas especifican que el candidato debe cumplir dos requisitos, A y B, para ser aceptado. El primer miembro del jurado cree que el candidato cumple ambos requisitos, el segundo miembro cree que solo cumple el A, mientras que el tercero cree que solo cumple B. La paradoja aparece cuando uno compara dos métodos diferentes para decidir la admisión del candidato. El primer método requiere que el jurado vote sobre si el candidato cumple el requisito A y, a continuación, sobre si cumple el B. Si el candidato obtiene una mayoría en ambas votaciones, será aceptado. Dos de los tres miembros creen que se satisface la condición A (el primero y el segundo así lo creen), y también dos de tres creen que se satisface la condición B (ahora lo creen el primero y el tercero). De acuerdo con este método el cand...

José Luis Ferreira En la  entrada anterior  repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos. 1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial. Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente. El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una par...

José Luis Ferreira Euclides  basó toda la geometría griega en  cinco postulados : 1. Por dos puntos solo pasa una recta. 2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente. 3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela. Durante mucho tiempo se pensó que el  quinto postulado  era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta). Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento...

Muchos matemáticos opinan que las matemáticas se descubren y no se inventan. Una razón poderosa para sostener esto es que los teoremas matemáticos, efectivamente, se descubren. Nadie puede inventar un teorema. Se puede inventar una definición o una operación, pero, una vez hecho esto, los resultados que se siguen no son objeto de invención. La cuestión, por tanto, es si los axiomas de las matemáticas (los que definen los números o los conjuntos, por ejemplo), y las operaciones que definimos (la suma de dos números, la intersección de dos conjuntos) son inventadas o descubiertas. No sé muy bien qué decir sobre esta cuestión que sea consistente con las definiciones de ambos términos. Creo que no son demasiado relevantes para la cuestión que creo interesa, a saber, si las matemáticas que construimos con ellas son las que crearía cualquier civilización inteligente. Si la respuesta es positiva querría decir que estamos haciendo las matemáticas “naturales”, por así decirlo. Si es neg...

José Luis Ferreira Esta entrada recoge un intercambio de comentarios en el blog  A bordo del Otto Neurath . Mi comentario: Hablar del concepto de “verdad” haciendo de él un objeto de estudio nos lleva a lo siguiente:
 1. Observamos en la realidad, o eso creemos, cosas (enunciados) a las que llamamos “verdad”.
 2. Proponemos un modelo en el que seguirle la pista a posibles definiciones formales que puedan corresponder con la intuición de “verdad” dada en el punto 1 y encontramos dos tipos posibles de definiciones formales: 1.1    La primera es la definición de “proposición bien construida a partir de las premisas de un modelo formal”. Los teoremas de la lógica y las matemáticas de toda la vida. 1.2    La segunda es la definición de “hipótesis, ley, teoría, modelo,...” aceptable o válido por su utilidad para hacer predicciones sobre la realidad. Mientras no nos liemos entre las distintas definiciones de los mo...

José Luis Ferreira Esta vez la discusión fue en el  Otto Neurath , magnífico blog de mi amigo y coautor Jesús Zamora (lo digo para presumir). Debatíamos las implicaciones de la paradoja de Newcomb en los conceptos de causalidad y de libre albedrío. Transcribo (con un poco de edición), la redacción de Jesús Zamora. “Un ser omnisciente y que siempre dice la verdad nos ofrece dos cajas cerradas, y nos da a elegir entre coger una sola de ellas, o las dos; después de nuestra elección, nos podremos quedar con el contenido de las cajas que hayamos tomado. En la caja A, ha puesto 1000 euros; en la caja B, en cambio, su acción depende de la nuestra: habrá puesto un millón de euros SI ÉL SABE que vamos a coger SÓLO la caja B, y la habrá dejado vacía SI ÉL SABE que vamos a coger la caja A. Naturalmente, nosotros sabemos que el ser nunca se equivoca y que nunca miente. El problema consiste, por lo tanto, en preguntarnos qué elegir: ¿sólo la caja A?, ¿sólo la caja B?, ¿las do...

José Luis Ferreira Esta es la paradoja de  La lámpara de Thompson . Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+… = 2. La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada? Ninguna de las dos respuestas parece adecuada ni preferible a la otra. ¿Qué hacemos entonces? Ocurre simplemente, que el problema no está bien definido. Parece bien definido porque parece que hemos sido capaces de enunciarlo claramente, pero es solo apariencia. El problema está perfectamente definido para cualquier instante anterior a las dos horas, pero no para ese momento. Hay quien dice que la indefinición de la paradoja se...

En algún mundo posible , jugando con la lógica modal, es verdad que los gatos hablan, sonríen y se desvanecen en el aire, tal como el famoso personaje de Alicia en el país de las maravillas . En 1865, el brillante lógico inglés Lewis Carroll publicaba una bella obra de literatura fantástica, inspirada en un montón de cuentos disparatados que había improvisado una tarde de 1862 junto al río Támesis, en un paseo junto al reverendo Robinson Duckworth y las pequeñas hermanas Liddell: Lorina, Alice y Edith. La obra no era otra que Alicia en el país de las maravillas , una historia que narra las aventuras de una niña llamada Alicia (inspirada en Alice Liddell) en una clase de mundo paralelo al nuestro, en el que los conejos visten elegante, las flores hablan y los gatos sonríen. El cuento de Alicia ha sido objeto de disfrute tanto por generaciones enteras de niños como por generaciones enteras de lógicos que miran en las letras de Carroll una serie de acertijos y paradojas lógicas. ...