De números y malas filosofías en el ojo ajeno

Parte I. De números

Tenemos un problema con el infinito. No ya que no lo concibamos, sino que no lo podemos siquiera tocar, escribir o señalar. Con el infinito grande podemos hacernos algunos trucos. Por ejemplo, hacer que el intervalo abierto (0, 1), que no incluye el cero ni el uno, esté en correspondencia con los números reales positivos. Entonces, si dibujamos el intervalo y si ponemos la punta del lápiz sobre el 1 nos podemos hacer a la idea de estar tocando el infinito, pero requiere un poco de imaginación.

Para el infinito pequeño las cosas son más difíciles. A pesar de que siempre podemos elegir dos números que estén muy cerca el uno del otro, más cerca que cualquier cantidad ridículamente pequeña que se nos ocurra, siempre estarán separados por una distancia positiva. Por eso siempre encontramos algún número racional entre cualesquiera dos irracionales y algún irracional entre dos racionales, a pesar de que haya en total muchísimos más irracionales que racionales (de hecho, hay un grado de infinito más). Y es que los números parecen no existir o, por lo menos, no estar definidos, hasta que interactuamos con ellos, cual partículas elementales del mundo cuántico.

Hemos interactuado con millones de números, pero nos faltan infinitos con los que interactuar. Nuestro modelo de números es tal que la definición de cualquier número cabe en él, pero también tal que nunca los definirá a todos. Podemos definir el cuatro, la raíz cuadrada de dos, pi,…, pero nunca todos. El modelo es recursivo y por eso, tras definir el uno y definir lo que significa “siguiente de”, podemos llegar al cuatro como el siguiente del siguiente del siguiente del uno. Y así llegamos a todos los naturales y, definiendo la resta, a los enteros. Luego definimos los racionales, dividiendo enteros, operación esta que también podemos definir. Luego llegan los irracionales, que son todos los números que se pueden definir como límites de secuencias de racionales, secuencias que se definen de manera recursiva. Y ahí está la recursividad, que nos garantiza el poder definir cualquier número real, pero que nos deja la pesada carga de tener que hacerlo cada vez que queremos tocar uno nuevo.

Parte II. Las malas filosofías en el ojo ajeno

-Entonces, ¿existen o no esos números con los que no hemos interactuado todavía?

-Sí y no. Sí, si a tu definición de existir le basta la demostración de existencia de una secuencia aún sin encontrar la secuencia. No, si demandas su construcción.

-Entonces, ¿cuál es la verdadera noción de existencia cuando hablamos de números?

-La primera, si quieres que existan todos los números, aún los no interactuados. La segunda, si quieres que no.

-Entonces, ¿qué debo querer?

-Que existan, si quieres ventilar pragmáticamente un asunto que no tiene ninguna trascendencia para las matemáticas ni para sus aplicaciones. Que no existan, si quieres ponerte a filosofar a lo Sócrates, metiendo el dedo en el ojo solo por fastidiar.

-Entonces, ¿debo querer filosofar?

-Sí, si lo haces para poner en orden algún pensamiento relevante. No, si tu idea de la Filosofía es meter el dedo en el ojo solo por fastidiar.

-Entonces, ¿qué es lo relevante?

-Desde luego, no andar metiendo el dedo en el ojo ajeno. Antes inténtalo en el tuyo propio.

-¿No me dolerá?

-Seguramente, y además de ser irrelevante, también te dolerá que a nadie le importare un carajo.

-¿Importaba un carajo cuando metía el dedo en el ojo de los demás?

-Solo importaba la pérdida de tiempo de los demás.

-¿Entonces…?
-¡Shh! “Pérdida de tiempo” he dicho.